В 1965 г. Шаинский окончил факультет Бакинской консерватории им. У. А. Г. Гаджибекова. До 2000 г. композитор жил в Москве, потом он переехал в Израиль. В 2004 г. Шаинский уехал в США, в Сан-Диего, где получил вид на жительство. С 2013 г. он постоянно проживал в США. Ранее СМИ писали, что Шаинский проходил курс лечения от рака желудка, ему было сделано несколько операций.
Шаинский является автором таких детских песен, как «Антошка», «Белые кораблики», «Вместе весело шагать», «Голубой вагон», «Облака», «Песенка Крокодилы Гены», «Песенка мамонтенка», «Песня Чебурашки», «Чему учат в школе», «Чунга-Чанга» и др. Им написано более 300 песен, многие из них стали популярными: «А он мне нравится», «А лес стоит загадочный», «Будет завтра лучше, чем вчера», «Две звезды», «Идёт солдат по городу», «Когда цвели сады», «Лада», «Мы начинаем КВН», «На дальней станции сойду», «Не плачь, девчонка», «Родительский дом» и пр.